Es kann vorkommen, dass man den Würfel mit den üblichen Mitteln nicht zuende lösen kann. So passiert es, dass eine Edge "in sich" gedreht ist. Der Rest des Würfels kann durchaus komplett gelöst sein, diese Edge befindet sich auch an ihrer korrekten Position. Diesen Fall nennt man OLL-Parity.

Der Algorithmus für diesen Fall ist:
r2 B2 U2 l U2 r' U2 r U2 F2 r F2 l' B2 r2

Bei den nächsten beiden Fällen kann es sein, dass zwar alle Edges richtig orientiert sind, aber 2 Edges sich an der falschen Position befinden. Man nennt dies PLL-Parity. Diesen Fall könnte man auf einem gewöhnlichen 3x3x3 Würfel ebenfalls nicht lösen.
Zuerst der einfachere Fall bei denen die zu tauschenden Edges sich gegenüber liegen:

Der Algorithmus für diesen Fall ist:
r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2

Dann gibt es noch den Fall, bei dem 2 zu tauschende Edges "nebeneinander" liegen. Also quasi über Eck. Dieser Algorithmus ist dem ersten sehr ähnlich, nur dass man einige Setup-Moves durchführt, um die eine Edge gegenüber zu platzieren.

Der Algorithmus für diesen Fall ist:
R' U R U (r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2) U' R' U' R

Wer ungern mehrere solcher Kombinationen hintereinander ausführen möchte, kann ein OLL-Parity und ein PLL-Parity gleichzeitig lösen:

Der Algorithmus für diesen Fall ist:
r2 B2 r' U2 r' U2 B2 r' B2 r B2 r' B2 r2 B2

Die letzten beiden Fälle beschäftigen sich mit Ecken. Diese kommen nicht so häufig vor und sind auch nicht sonderlich kompliziert, da sie sich aus den anderen Parityfällen und einem Permutations-Algorithmus zusammensetzen.
Hier Fall 1. Ecken liegen nebeneinander:

Der Algorithmus für diesen Fall ist:
r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2 (PLL-Algorithmus)
Y' (Den Würfel für den T-Perm drehen)
R U R' U' R' F R2 U' R' U' R U R' F' (T-Perm)

Fall 2. Ecken liegen sich gegenüber:

Der Algorithmus für diesen Fall ist:
r2 U2 r2 (Uu)2 r2 u2 (PLL-Algorithmus)
L' U R' U2 L U' R L' U R' U2 L U' R U' (N-Perm)

Nach diesem Schritt ist der 4x4x4 Würfel komplett gelöst.
Happy Cubing!